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论智力的改进——哲学家斯宾诺莎

发布时间：2024-11-25 浏览次数：13 返回列表

^[1]致敬大师

论智力的改进——哲学家斯宾诺莎

如果你想学会游泳，你必须得跳进水里去。同样的，如果你想成为一个善于解题的人，你就必须得去实地解题！

一位著名教育家的名言：“所谓方法，就是用过两次的手法”。

若想求 $S_k=sum_{i=1}^{n}i^{k}\$ 考虑二项式展开 $(n+1)^{k+1}=n^{k+1}+C_{k+1}^{1}n^{k}+C_{k+1}^{2}n^{k-1}+cdots+1\$ 有 $(n+1)^{k+1}-n^{k+1}=C_{k+1}^{1}n^{k}+C_{k+1}^{2}n^{k-1}+cdots+1\$ 故 $2^{k+1}-1^{k+1}=C_{k+1}^{1}1^{k}+C_{k+1}^{2}1^{k-1}+cdots+1\$ $3^{k+1}-2^{k+1}=C_{k+1}^{1}2^{k}+C_{k+1}^{2}2^{k-1}+cdots+1\$ $cdots$ $(n+1)^{k+1}-n^{k+1}=C_{k+1}^{1}n^{k}+C_{k+1}^{2}n^{k-1}+cdots+1\$ 累加得 $(n+1)^{k+1}-1=C_{k+1}^{1}S_k+C_{k+1}^{2}S_{k-1}+cdots+S_0\$ 得 $S_k=frac{(n+1)^{k+1}}{k+1}-frac{(C_{k+1}^{2}S_{k-1}+cdots+S_0+1)}{k+1}\$ (因此，已知 $S_0=n$ ,只需不断递归就可以求出任意给的 $k$ 的 $S_k$ 。此处我们也看到 $S_k$ 是 $n$ 的 $k+1$ 阶多项式，其最高阶项系数是 $frac{1}{k+1}$ ）此外，也很容易证明 $n^{k}=C_{k}^{1}S_{k-1}-C_{k}^{2}S_{k-2}+cdots+(-1)^{k-1}S_0\$ （只需利用 $n^{k}-(n-1)^{k}$ 。）

【例子】我们来求 $begin{align} S(n)&=1·2+(1+2)·3+(1+2+3)·4+cdots+[1+2+3+cdots+(n-1)]n \ &=frac{1·2}{2}·2+cdots+frac{(n-1)n}{2}·n \&=frac{1}{2}[(2^{3}-2^{2})+cdots+(n^{3}-n^{2})] \&=frac{1}{2}(S_3-S_2) \&=frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24} end{align}$

$begin{align} S_1&=S_1 \2S_1^2&=2S_3 \4S_1^3&=3S_5+S_3 \8S_1^4&=4S_7+4S_5\ cdots \2^{k-1}S_1&=C_k^1S_{2k-1}+C_k^3S_{2k-3}+C_k^5S_{2k-5} end{align}$ 按照 $k$ 为奇数或偶数，右端最后一项分别为 $S_k$ 或 $kS_{k+1}$ 只需利用 $begin{align} [n(n+1)]^k-[n(n-1)]^k&=n^k[(n+1)^k-(n-1)^k] \&=2C_k^1n^{2k-1}+2C_k^3n^{2k-3}+cdots end{align}$

$(1+x)^{a}=sum_{k=0}^{a}C_a^k x^k$ $，a in mathbb{R}$ 【例子】【1】 $begin{align} (1+x)^{frac{1}{2}}&=1+frac{frac{1}{2}}{1}x+frac{frac{1}{2}(-frac{1}{2})}{1·2}x^2+frac{frac{1}{2}(-frac{1}{2})(-frac{3}{2})}{1·2·3}x^3+cdots \&=1+frac{1}{2}x-frac{1}{8}x^2+frac{1}{16}x^3-frac{5}{128}x^4+cdots end{align}$ 请验证一下？（对应系数是否一样） $(1+x)^{frac{1}{2}}(1+x)^{frac{1}{2}}=1+x \$ 【2】(等比求和与二项展开结果是一致的） $(1+x)^{-1}=1-x+x^{2}-x^3+cdots=[1-(-x)]^{-1}\$

即形如： $y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+cdots+a_{n-1}y'+a_ny=0$ 【a】解的线性组合还是一个解【b】它有一个特解 $y=e^{rx}$ ，当且仅当 $r$ 是代数方程 $r^n+a_1r^{n-1}+cdots+a_n=0$ 的解【c】可以证明有一个一般解 $y=c_1e^{r_1 x}+c_2e^{r_2 x}+cdots+c_de^{r_d x}$ ，其中 $r_1,r_2,cdots r_d$ 是上述方程的 $d$ 个根【例子】求满足微分方程 $y''=-y\$ 且 $y=1,y'=0,$ 当 $x=0$ 时.有方程 $r^2+1=0 \$ 故通解为 $y=c_1e^{ix}+c_2e^{-ix} \$ 再由给定初值可得 $c_1+c_2=1$ , $ic_1-ic_2=0$ $\$ $Rightarrow$ $c_1=c_2=frac{1}{2}$ 故特解为 $y=frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2}$ 注意 $y=cosx$ 也是满足题意的。

即形如： $x_{n+k}+c_{k-1}x_{n+k-1}+cdots+c_{1}x_{n+1}+c_0 x_n=0$ 【a】解的线性组合还是一个解【b】有一特解 $x_n=r^n$ ，当且仅当 $r$ 是代数方程 $r^k+c_{k-1}r^{k-1}+cdots+c_{1}r+c_0 =0$ 的解【c】类似地，也有一个一般解 $x_n=c_1r_1^{n}+c_2r_2^n+cdots+c_dr_d^n$ ，其他叙述同上。【下面举一个著名的例子： $Fibonacci$ 数列】 $x_n=x_{n-1}+x_{n-2} \$ 且有 $x_0=0,x_1=1$ 应有方程 $r^2-r-1=0\$ 有通解 $x_n=c_1(frac{1+sqrt{5}}{2})^n+c_1(frac{1-sqrt{5}}{2})^n\$ 再由初值可确定特解 $x_n=frac{1}{sqrt{5}}[(frac{1+sqrt{5}}{2})^n+(frac{1-sqrt{5}}{2})^n]\$

莱布尼茨很强调从多方面解同一个问题的重要性。下面是他的一个看法：“比较同一个量的两种不同表达式，便可以解出一个未知量来；而比较同一结果的两个不同的推导，便可以找到一个新的方法。

这里举一个这种类型的的命题：”在 $pi$ 的十进位小数里，有一段连续出现了九个 $9$ “。证明或否定这一命题是一个确定的数学问题。不过现在要解决它似乎是无望的。“一个笨蛋能够提出九个聪明人都回答不了的问题”。

一个三角形由三条边、或两边夹角、或者一边二角所确定，但不能由三个角确定。确定一个三角形要有三个独立数据。确定一个变量为 $x$ 的 $n$ 阶多项式需要 $n+1$ 个独立数据。有许多重要的数学对象，为了确定它们，需要有一定数目的独立数据。因此，当我们解一个求解问题时，及早地计算一下数据个数常常是有好处的。【例子】确定一个 $n$ 边多边形，需要 $(n-1)+(n-2)=(n-3)+n=3+2(n-3)=2n-3\$ 个独立数据.（为什么？不同表达式的含义？）这里仅说明一下最后一个式子：给出 $n$ 个顶点的直角坐标，一共 $2n$ 个数据，这时我们不仅决定了多边形，而且也决定了坐标系，但坐标系的位置并不是本质的，它依赖于三个参数，因此只有 $2n-3$ 个数据是本质的。

解方程 $(he)^{2}=she\$ （当然，这里是分别表示十进制的一个两位数和三位数）我们重新表述一下就是 $(10h+e)^{2}=(100s+10h+e)\$ 其中 $s，h和e inmathbb{Z^{+}}$ ，且 $1leq sleq 9$ , $1leq h leq 9$ ， $0leq e leq9$ 阶段 $(e)$ .注意到这里对 $e$ 有一个特殊要求，就是 $e^{2}$ 的个位数必须是 $e$ ，稍稍例举一下就知 $e$ 只能是 $0$ 或 $1$ 或 $5$ 或 $6$ .阶段 $(e,h)$ .容易算得 $100 leq (he)^{2} <1000\$ 即 $10leq he leq31\$ 联系阶段 $(e)$ ，就知 $he$ 只能是 $10, 11 , 15 , 16, 20, 21, 25, 26, 30, 31$ 阶段 $(e,h,s)$ 将上述的平方列出来就有 $100，121，225，256，400，441，color{red}{625}，676，900，961$ 发现只有一个满足条件，因此 $e=5,h=2,s=6$ ,使 $(25)^{2}=625$ .我们可以将以上解题过程描述为如下方程组 $begin{align} r_1(e)&=0 \ r_2(e,h)&=0\ r_3(e,h,s)&=0 end{align} \$ 未知量的逐步征服解法的递归过程把我们的多元未知量 $x$ 逐步地揭示出来。开始我们对未知量 $x$ 知道得很少——我们只知道它得一个分量 $x_1$ 的值，但是我们可以利用最初得到的这点信息去得到更多的信息：把关于第二个分量 $x_2$ 的信息跟关于第一个分量 $x_1$ 的信息结合起来。在解题的每一阶段，我们都把关于一切新的分量的信息加到已经得到的分量的信息上，在每一阶段，我又都要用已经得到的信息去得出更多的信息。这里本质的东西是运用已收集到的信息作为行动的基础去收集更多的信息。从这个意义上，也许我们可以这样说，所有研究和解决问题的合理的程序都是递归的。（每走一步我们都必须涉及前面各步积累所得到的结果，这是再自然不过的了。）困难在于如何在许多路当中进行选择。每当有两种可能性呈现出来时，我们就应当根据怎样使前面已做的工作发挥最大效能这一原则，来选定接下来的一个论题。

【此处再给出书中两个类似的题目供读者品味这种思想】

一个四位数乘以 $9$ 就颠倒了数字次序（得到另一个四位数，各位数字的顺序恰好相反），这个数是什么？（你准备先用条件的哪一部分？）
设 $a,b,c,d$ 都是一位数，而二位数 $ab$ （即 $10a+b$ ）中， $a≠b$ ，且 $ab×ba=cdc$ ，求此四数。

几何直观

没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有益的。——《笛卡尔文集》，第十卷，p.413;思维的法则.

聪明人从结果开始。我的一个朋友他是一位优秀的数学家，也是一位优秀的哲学家，有一次他告诉我说，当他去证明一个定理的时候，他经常是从写下 $Q.E.D.$ 这三个字母开始的（拉丁文 $quod erat demonstrandum$ 的三个字头，表示”这就是要证明的“），而写下这个传统上出现在证明末尾的一组字母，能使他处在正常的情绪之中。有一句谚语：“聪明人从结果开始，傻瓜则中止在起点。”

不要过早地限定自己，不要过死的把自己限制在一条路上。做一件事的时候，不要把别的都忘了。一个好的解题者作计划就像一位将军一样：他认识到袭击计划是可能失败的，因此他并不忽视退却的路线。一个好的计划应当附有某些应变措施，即对付意外困难的某种适应性。

笼子里关着一头饥饿得黑猩猩。笼子外面地上放着一只香蕉，黑猩猩可以把手臂从笼子得栅栏中伸出去，但够不着香蕉，它来回试着，竭力想够着它，可是都失败了。现在它只好坐在那儿。笼子外面在它够得着的地方还放着一根棍子，不过它似乎一点也没有注意到它。突然它跑了过去，抓住了那根棍子，笨拙地用它去扒那根香蕉，一直扒到它能够得着得地方，然后它就把香蕉抓过来吃了。这只黑猩猩解决了两个问题：A：把香蕉抓过来B：把棍子抓过来问题A是先出现的。最初，黑猩猩对那根不能吃的棍子丝毫不感兴趣，但是它还是先解决了B。问题B的解决为它解原来的问题A铺平了道路。黑猩猩对A有直接兴趣，而对B只有间接的兴趣，A是目的，B仅仅是它的手段；A是主要问题，而B只是一个辅助问题。去设计并解决一个合适的辅助问题，从而用它来求得一条通向一个表面上看来很难接近的问题的通道，这是最富有特色的一类智力活动。特殊化和推广是有用的辅助问题的重要源泉。

考察一个强些或弱些的定理。1.考查一个可能的基础：举个例子：证明 $e < pi$ ，只需 $e< 3<pi$ 。2.考查一个推论断言 $S_球=4 pi r^{2}$ 去证明 $S_球leq4 pi r^{2}$ 和 $S_球 geq 4 pi r^{2}$ 即可

你了解你的城市吗？倘若你很了解它，你就应该能找出城市中任意两点间最近的走法以及指出采用什么交通工具最为方便。同样，这也正是对我们知识的组织所要求的，在你工作的领域内你应当能找出任何两点间切实可行的联系。

尽可能离问题近些，要做好情况要求我们走多远就走多远的准备

要紧紧抓住已经考察过的点子，直到找到某些有用的启示为止。但也要努力去考察某些还没有被开发过的地方，一成不变是危险的。

先挑软柿子捏。

李希坦伯格：“那些曾使你不得不亲自去发现的东西，会在你脑海里留下一条途径，一旦有所需要，你就可以重新运用它。

如果教师没有某些创造性工作的经历，那么他怎么能够去激励、引导、帮助或者甚至去察觉他的学生的创造性活动呢？一个教师如果他所懂得的数学都是纯接受性的东西，他就不可能促使学生去主动学习。一个教师如果在他的一生中从未有过什么巧思敏想，那么当他碰到一个有这种敏想的学生时，可能就不会去鼓励他，反而会去申斥他。”数学系给我们的是啃不动的硬牛排，而教育学院给我们的是一碗没有肉的白水汤。“

要对你讲的课感兴趣
要懂你讲的课
要懂得学习的途径：学习任何东西的最佳途径是靠自己发现。
要懂得你的学生脸上的表情，弄清他们的期望和困难，把自己放在他们的位置上，将心比心。
不仅要教给他们知识，并且还要交给他们”技能“、思维方法和有条不紊的工作习惯
要让他们学会猜测
要让他们学会证明
找出题目的特征，构建一般模型
不要一下子全说出来，让学生去找出来。（伏尔泰：令人讨厌的艺术是什么都说了出来）
要建议，不要强迫。

一个学生作了一个长计算，写了好几行。一看到末行结果，便知道计算是错误的，但却要抑制不说。要喜欢与学生一起，一行接一行地查看：”你一开头做的很对。你的第一行是对的，第二行也是......问题在这里.....假若这个错误是学生自己发现的，他就可以学到点什么。假如我当时就说一句：“这是错的”这学生也许会产生反感，这样我下面的话他就听不下去了。假如我经常说“这是错的”学生将会痛恨我及数学，这样对他及我个人来讲，一起努力都付之东流。

我们应当让孩子重复人类思维发展中的那些关键性步子。当然，我们不应当让他重复过去所有的错误，而仅仅是重复那些关键性的步子。在了解了人类是怎样获得某些事实或概念的过程之后，我们就能更好地去判断我们的孩子应当怎么样去学习这些知识。（历史的重要性）麦克斯韦在《电磁学通论》：任何科学领域的学生，阅读一下该领域中的原著是大有好处的，因为科学在它处于初期阶段时，总是最好理解的。（理解力是经久不衰的东西。）

一个学生从背诵中学习了法则，仅仅在名义上接受了它，并没有证明，但是他能够正确地运用它，则我们说学生对法则有了机械的认识。
学生确信在所有他检验过的情况下它都是正确的，这时他就具有了归纳的认识。
学生了解了这个法则的证明，则他就有了理性的认识。
学生能清晰明白地把这条法则想出来，对它十分确信，没有一丝怀疑。则他就具有了直观的认识。

有雄心的学生应当认真地去钻研新的事实。他应当对它反复推敲，从各种观点去看它，考察它的所有方面，并且试着在最便于与相关事实相联系的地方将它与已有知识衔接起来。这样他就能花最少的力量去最直观地看到这些新知识，此外，他还应当试着借助这些应用、一般化、具体化、类比以及所有其他的途径去推广和扩大他新学到的知识。

不要企图靠给别人讲很多东西来满足你的虚荣。唤起他们的好奇心，就足以使他们开窍了。不要让他们负担过重，只须投一颗火种，假如有易燃材料，就定会燃起熊熊大火。

假如你希望用几个字来说明什么是科学的方法，那么我提议它是：猜测和检验。

在课堂上，“猜测”往往是一条禁律。然而在数学研究里面，“先猜测后证明”几乎是一条规律。观察、猜测、归纳论证。简言之，合情推理，起着重要的作用。

让学生通过做独立的创造性工作品尝到了数学的滋味。揭示数学的一个很少被人提及而更加显得重要的方面，数学在这里作为一种“观察的科学”——即借助于观察和类比去导致发现的科学——而展示出与自然科学紧密的联系。

$begin{align} sqrt{2}-1&=sqrt{2}-sqrt{1}\ (sqrt{2}-1)^2&=sqrt{9}-sqrt{8}\ (sqrt{2}-1)^3&=sqrt{50}-sqrt{49}\ (sqrt{2}-1)^4&=sqrt{289}-sqrt{288}\ cdots\ (sqrt{2}-1)^n&=sqrt{m}-sqrt{m-1} ? \ end{align}$ 证明你的猜想。

给出答案 $m=[frac{(sqrt{2}+1)^n+(sqrt{2}-1)^n}{2}]^2$ 参考^[2]

The American Mathematical MonthlyVol. 58, No. 8 (Oct., 1951), p. 566 (1 page)

类似习题： $begin{align} 2-sqrt{3}&=sqrt{4}-sqrt{3}\ ( 2-sqrt{3})^2&=sqrt{49}-sqrt{48}\ ( 2-sqrt{3})^3&=sqrt{676}-sqrt{675}\ ( 2-sqrt{3})^4&=sqrt{9409}-sqrt{9408}\ cdots\ ( 2-sqrt{3})^n&=sqrt{m}-sqrt{m-1} ? \ end{align}$ 相信读者看完上述参考文章，答案已经呼之欲出。

个人记录，仅供参考。

如有错误，敬请指出。

——2021.12.4 【发】